Połówki podków czy całe podkowy

Kategoria: Trenuj mózg Opublikowano: poniedziałek, 22 październik 2012 Super User

Zagadka logiczna: Pewien kowal chwalił się znajomym jak sprzedawał podkowy na targu.

  • Otóż wyobraźcie sobie, że z samego rana przyszedł klient i od razu kupił połowę wszystkich moich podków i wziął jeszcze do tego połowę jednej podkowy. Po chwili przyszedł drugi klient i też kupił połowę pozostałych podków oraz połowę podkowy. Następnie przyszedł trzeci i zrobił tak samo. To znaczy kupił połowę pozostałego mi zapasu podków i połowę jednej. Potem przyszedł jeszcze czwarty, piąty i szósty klient, i kupili dokładnie według takiego samego schematu. Tym sposobem sprzedałem wszystkie podkowy.
  • Co ty za bzdury opowiadasz? – spytał jeden ze znajomych. – Przecież nikt nie kupuje połowy podkowy. Komu taka połówka będzie przydatna do czegokolwiek?
  • Ale przecież ja sprzedawałem zawsze po całej podkowie. Nigdy nikomu nie przecinałem podkowy na pół.

Na to wtrącił się, słyszący całą rozmowę, przechodzień:

  • Zgadza się. Ja byłem tym szóstym klientem i kowal sprzedał mi ostatnią, całą podkowę.

Znajomi jeszcze długo zastanawiali się, jak to możliwe, że kowal sprzedawał po połowie podkowy, a jednak była ona cała. Czy jest na to jakieś logiczne wyjaśnienie i ile podków miał kowal z samego rana?

{slider=Rozwiązanie}

Rozwiązanie:

Rozważmy dwa przypadki. Pierwszy, gdy kowal ma parzystą liczbę podków i drugi przypadek gdy w kuźni jest ich nieparzysta ilość. W pierwszym przypadku (na przykład 10 szt.) to klient kupujący „połowę wszystkich podków i jeszcze pół podkowy” kupiłby ich pięć i pół sztuki. Jeśli natomiast kowal dysponował nieparzystą liczbą podków (na przykład 13 szt.) to klient kupujący wg wspomnianego schematu kupiłby połowę zapasu, czyli sześć i pół podkowy oraz jeszcze pół podkowy. Razem zakupiłby, więc 7 podków pozostawiając w magazynie jeszcze 6. Tym sposobem kowal mógł sprzedać całe podkowy zgodnie z jego opowiadaniem. Aby każdy z sześciu klientów mógł kupić „połowę pozostałych podków i jeszcze pół podkowy” kowal musiałby po każdej transakcji mieć nieparzystą liczbę podków.

Zastanówmy się jak wyglądało by dzielenie nieparzystej liczby podków na dwie części. Dla zobrazowania procesu wybierzmy jakąś konkretną wartość. Powiedzmy 17 sztuk. Po podziale otrzymujemy dwie kupki po 8 i pół podkowy w każdej. Weźmy z każdej sterty te połówki podkowy i połączmy razem. Otrzymamy całą podkowę, którą położymy na jedną z kupek. Zauważmy, że w jednej kupce jest o jedną podkowę więcej niż w drugiej.

Można więc w prosty sposób wykazać, że klient kupował o jedną podkowę więcej niż pozostawało u kowala, gdy opuścił sklep. Chcąc ustalić ile podków miał kowal rano należy całe rozumowanie przeprowadzić od końca, to znaczy od szóstego klienta do pierwszego. Wszystko ilustruje poniższa tabelka.

kupujący Ilość podków, która została kowalowi po transakcji Ilość podków jaką kupił klient Ilość podków jaka była, gdy klient przyszedł do sklepu
szósty 0 1 1
piąty 1 2 3
czwarty 3 4 7
trzeci 7 8 15
drugi 15 16 31
pierwszy 31 32 63

Tak więc kowal rano miał 63 podkowy.

{/slider}