Przelewanie wody

Kategoria: Trenuj mózg Opublikowano: środa, 19 grudzień 2012 Tomasz Zaloudik

Zagadka logiczna dotycząca przelewania wody między beczkami.

W magazynie stoi osiem beczek, w każdej z nich znajduje się pewna ilość wody. Pracownik przyszedł i przelał z pierwszej beczki do następnych tyle samo wody, ile już było w każdej beczce. Innymi słowy, jeśli w piątej beczce były 2 litry wody, to pracownik przelał z pierwszej do piątej 2 litry. Następnie powtórzył taką operację używając do tego wody z drugiej beczki, znów przelewając do pozostałych beczek tyle wody, ile się już w niej znajdowało. Potem powtórzył to samo z wodą z trzeciej beczki i tak dalej, aż doszedł do beczki ósmej. Wtedy okazało się, że we wszystkich beczkach jest po 256 litrów wody. Czy można ustalić, ile wody znajdowało się w beczkach na początku operacji?
{slider=Rozwiązanie}
Rozwiązanie:
W zadaniu jedyną konkretną informacją liczbową jest zawartość beczek na końcu pracy, tak więc, podobnie jak w przypadku zadania z podkowami, rozpocznijmy rozwiązywanie od końca. Po ósmym przelewaniu w każdej z beczek było 256 litrów wody. Rozważmy pierwszą beczkę. Skoro po przelaniu znajdowało się w niej 256 litrów, a dolane zostało tyle samo wody ile już w niej było, oznacza to, że przed operacją była w niej połowa obecnej zawartości, czyli 128 litrów. Podobnie z pozostałymi sześcioma beczkami, do których dolewano wody. Natomiast ostatnia, ósma beczka musiała zawierać całą wodę, która trafiła do pozostałych siedmiu beczek oraz dodatkowo 256 litrów, które pozostały w niej po zakończonej operacji. Oznacza to, że w beczce było 7*128+256 litrów, czyli 1152 litrów. Podobne rozumowanie możemy przeprowadzić z pozostałymi operacjami przelewania wody. Całość ilustruje poniższa tabelka:

Beczka 1 Beczka 2 Beczka 3 Beczka 4 Beczka 5 Beczka 6 Beczka 7 Beczka 8
256 256 256 256 256 256 256 256
128 128 128 128 128 128 128 1152
64 64 64 64 64 64 1088 576
32 32 32 32 32 1056 544 288
16 16 16 16 1040 528 272 144
8 8 8 1032 520 264 136 72
4 4 1028 516 260 132 68 36
2 1026 514 258 130 66 34 18
1025 513 257 129 65 33 17 9


Najniższy wiersz tabeli pokazuje zawartość beczek przed przyjściem pracownika.

Wersja rozwiązania dla dociekliwych:
Ktoś mógłby zadać sobie pytanie: Jak zmieniłoby się zadanie, gdyby była inna liczba beczek?
Oczywistym jest, że liczba operacji przelewania jest równa liczbie beczek. Przelewamy z pierwszej beczki, potem z drugiej i tak aż do ostatniej.
Poniżej znajdują się tabelki dla siedmiu i sześciu beczek:

Beczka 1 Beczka 2 Beczka 3 Beczka 4 Beczka 5 Beczka 6 Beczka 7
128 128 128 128 128 128 128
64 64 64 64 64 64 512
32 32 32 32 32 480 256
16 16 16 16 464 240 128
8 8 8 456 232 120 64
4 4 452 228 116 60 32
2 450 226 114 58 30 16
449 225 113 57 29 15 8

 

Beczka 1 Beczka 2 Beczka 3 Beczka 4 Beczka 5 Beczka 6
64 64 64 64 64 64
32 32 32 32 32 224
16 16 16 16 208 112
8 8 8 200 104 56
4 4 196 100 52 28
2 194 98 50 26 14
193 97 49 25 13 7



Załóżmy, że przez „n” oznaczymy ilość beczek, a przez w(i) będziemy rozumieli ilość wody w beczce o numerze „i”. Z powyższych tabelek wynikają następujące fakty:

  1. Ostateczna ilość wody w beczkach to 2 do potęgi „n”
  2. Początkowa ilość wody w ostatniej beczce jest o 1 większa od „n”, czyli w(n)=n+1
  3. Ilość wody w kolejnych beczkach, zaczynając od przedostatniej a kończąc na pierwszej, można obliczyć biorąc ilość wody w następnej beczce, mnożąc przez 2 i odejmując 1. Czyli w(n-1) = 2 * w(n) - 1

{/slider}